Фамилия Тирейкин — одна из тех, что сразу ставит перед исследователем вопрос: откуда взялась первая часть? Она непохожа на типичные русские основы вроде «Иван» или «Кузнец». Чтобы ответить, нужно разобрать словообразовательную модель и заглянуть в диалектную лексику.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Тирейкин — «чей?» — сын или потомок Тирейки. А само имя или прозвище Тирейка — это, скорее всего, уменьшительная форма от крестильного имени Терентий. Терентий (от латинского terentius — «назойливый», «трущий») в народной речи давал множество производных: Терёха, Теренька, Терёня. Форма Тирейка могла возникнуть через диалектное смягчение или замену звуков: «Теряй» → «Тирей». В некоторых говорах, особенно на севере и северо-востоке, «е» переходило в «и», и имя Терентий превращалось в Тирентий, а оттуда — в Тирейка.

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: основа от прозвища Тирей, связанного с глаголом «тирать» (в диалектах — «тереть», «мучить»). Так могли назвать человека сварливого или, наоборот, усердного в работе («трёт до дыр»). Но эта гипотеза слабая, потому что глагольных прозвищ с таким корнем почти не сохранилось в фамилиях.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных областях России и в Поволжье, что косвенно подтверждает версию с Терентием — имя было популярно в крестьянской среде именно там. Сословно носители Тирейкины — почти наверняка бывшие крепостные крестьяне или однодворцы: суффикс -ин и отсутствие дворянских приставок (вроде «фон») говорят о простонародном происхождении.

В итоге: Тирейкин — это «внук Терентия», где имя прошло через народную переделку. Фамилия не имеет отношения к тюркским или финно-угорским корням, как может показаться на слух, — она чисто русская по модели и основе.