Фамилия Торнаги — редкий случай в русском ономастиконе. Её основа и суффикс нехарактерны для восточнославянских фамилий, поэтому сразу отпадает версия о происхождении от русского слова «торнаг» (такого слова нет). Скорее всего, перед нами фамилия западноевропейского, итальянского или греческого корня, которая попала в русскую среду через миграцию или смешанные браки.

Разбор суффикса -и указывает на модель, типичную для итальянских фамилий (сравните: Росси, Бьянки, Торнаги — окончание на -и часто указывает на множественное число или принадлежность к роду). В итальянском языке основа «torna» означает «возвращаться», «поворачивать». Прозвище или фамилия Tornaghi могла возникнуть от названия профессии (например, тот, кто возвращает долги, или человек, живущий у поворота дороги) либо от топонима — в Италии есть несколько мест с корнем Torna (например, коммуна Торна в области Ломбардия). В русском контексте фамилия могла быть записана на слух в XIX–XX веках, когда в Россию приезжали итальянские архитекторы, художники, музыканты или торговцы.

Вторая возможная версия — греческое происхождение. В греческом языке «торнаги» (τορνάγι) может быть связано с токарным делом (τορνάρω — точить на станке). Тогда фамилия обозначала бы ремесленника-токара. Но это менее вероятно, так как суффикс -ги реже встречается в греческих фамилиях, чем в итальянских.

Среди носителей фамилии в России известен, например, Александр Торнаги — советский инженер-конструктор, работавший в области авиации. Но в целом фамилия остаётся штучной: по данным открытых источников, её носят не более нескольких десятков человек в стране. География — преимущественно крупные города (Москва, Санкт-Петербург), что подтверждает версию о позднем появлении.

Если ваши предки носили фамилию Торнаги, скорее всего, они были связаны с итальянской культурой или ремёслами. Проверьте архивные записи XIX — начала XX века: фамилия могла писаться как Торнаги, Торнагги или Торнаки (из-за ошибок писарей). В любом случае, это редкий след южноевропейского корня в русской фамильной системе.