Фамилия Травинских — яркий пример севернорусской модели фамилий на -их/-ых, которая в литературной норме закрепилась в форме Травинский. Если вы встретили написание именно с окончанием -их, это почти наверняка указывает на корни из Архангельской, Вологодской, Вятской или Пермской губерний, где такие фамилии бытовали как застывшая форма родительного падежа множественного числа: «из дома Травинских».

В основе фамилии лежит прозвище или мирское имя Трава. В древнерусской антропонимии «травой» могли назвать человека за что-то, связанное с зеленью: либо за цвет волос (сравните с фамилиями Зеленов, Травников), либо за род занятий — знахаря, который лечил травами, или крестьянина, занимавшегося сенокосом и сбором кормов. Суффикс -ин- в данном случае не притяжательный (не «чей?»), а словообразовательный: от прозвища Трава образовали фамилию Травин, а затем, по типу дворянских и священнических фамилий, добавили -ский, что дало Травинский. Форма Травинских — это уже местный диалектный вариант, где окончание -их указывает на принадлежность к роду.

Стоит учесть, что фамилии на -ских обычно получали либо духовенство (семинарские фамилии), либо дворяне, но в случае с Травинских мы имеем дело скорее с народной, крестьянской традицией. В северных говорах суффикс -ск- нередко присоединяли к уже готовой фамилии для придания ей «благородного» звучания, но на практике такую форму носили обычные крестьяне и мещане. Поэтому не стоит искать в фамилии Травинских обязательную дворянскую родословную — скорее всего, предки были людьми, чей быт или внешность дали повод для прозвища, которое потом закрепилось в документах.

Интересно, что фамилия Травинских — редкая. Она не встречается в массовых списках распространенных русских фамилий, и её носители, скорее всего, сосредоточены в нескольких районах Русского Севера или в среде потомков переселенцев из тех мест. Если вы ищете свои корни, имеет смысл обратить внимание на метрические книги и ревизские сказки по Вологодской и Архангельской губерниям.