Фамилия Третяковаь — случай редкий и, скорее всего, возникший из-за ошибки в написании или при переносе в официальные документы. В русской ономастике стандартной формой является Третьяков, и именно её мы и будем разбирать, так как вариант с «аь» на конце не имеет исторического обоснования — суффикс -ов в мужских фамилиях никогда не заканчивается на мягкий знак. Скорее всего, перед нами опечатка в паспорте или запись со слуха.

Основа фамилии — слово «третьяк». В Древней Руси так называли третьего ребёнка в семье, если он был сыном. Имена-порядковые (Первак, Вторак, Третьяк) были распространены до XVIII века среди крестьян и посадских людей: они заменяли церковные имена в быту и служили прозвищами, которые затем закреплялись за родом. Третьяк — это не просто «третий», а полноценное некалендарное имя, которое фиксировалось в писцовых книгах. Например, в новгородских грамотах XV века встречаются Третьяки — землевладельцы и крестьяне.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Третьяков — сын Третьяка. Модель образования типична для основной массы русских фамилий (около 60% по подсчётам Б. Унбегауна). Географически фамилия Третьяков широко распространена по всей России, но чаще встречается в центральных и северных областях — в Вологодской, Костромской, Ярославской губерниях, где имя Третьяк было особенно популярно в XVI–XVII веках.

Если же говорить именно про написание Третяковаь, то это, вероятно, результат искажения при записи в советских загсах: чиновник мог услышать «Третякова» (женскую форму) и добавить нечитаемый знак на конце. Никакого отдельного значения или происхождения у такого варианта нет. Восстанавливать фамилию стоит как Третьяков — через букву «ь» после «т», что подтверждается всеми словарями русских фамилий.