Фамилия Тройкина — женская форма фамилии Тройкин, и её стоит разбирать через мужской вариант. Основа здесь — «тройк-», а суффикс «-ин» указывает на принадлежность: Тройкин буквально значит «сын Тройки» или «человек из семьи Тройки». Сама же Тройка — это не число, а прозвище или неканоническое имя.

В русской ономастике Тройка могло быть прозвищем по разным причинам. Самая вероятная версия — отсылка к тройке лошадей: так могли назвать возницу, ямщика или лихого кучера, который правил тройкой. В XIX веке ямщики на тройках были заметной фигурой на дорогах, и прозвище легко закреплялось за человеком, а затем переходило к его детям. Менее распространённый вариант — прозвище по третьему ребёнку в семье (по аналогии с Первак, Вторак). В некоторых говорах «тройка» означала и нечто собранное из трёх частей, но для фамилии эта версия слабее.

Суффикс «-ин» типичен для северных и центральных русских регионов, где фамилии часто образовывали от личных имён и прозвищ, оканчивающихся на -а/-я. В южных и западных областях на том же месте стоял бы суффикс «-ов» (Тройков), но Тройкин встречается реже, что делает фамилию более локальной. Словарь Б. Унбегауна относит подобные модели к «патронимическим фамилиям от прозвищ», не выделяя Тройкина в отдельную статью, но общая модель прозрачна.

Однокоренные фамилии — Тройников, Тройницкий — имеют другую историю: первая могла возникнуть от названия ремесленника, работающего с тройным материалом, вторая — от географического названия вроде Тройница. Тройкина же стоит особняком: она не про тройной вес или тройную цену, а про человека, чья жизнь была связана с тройкой — скорее всего, с лошадьми.

Встречаемость фамилии невысокая, и её носители, вероятно, происходят из тех мест, где ямская гоньба была развита — например, из бывших ямских слобод под Москвой, Тверью или Новгородом. Если ваши предки носили фамилию Тройкины, можно предположить, что среди них был ямщик или кучер, и прозвище закрепилось за родом навсегда.