Фамилия Царбаев — редкий случай, где труднее всего объяснить не суффикс, а корень. Основа «Царб-» не встречается в списках распространённых русских прозвищ или имён, а значит, почти наверняка фамилия имеет нерусское, скорее всего тюркское происхождение.

Модель образования типична для регионов, где бытуют фамилии на -ев: это суффикс принадлежности, указывающий на «сына» или «потомка» человека по имени Царба. Сама основа могла возникнуть из двух слов: «цар» (у некоторых тюркских народов — «узкий», «тесный», а также «год») и «бай» (господин, богач, хозяин). Если соединить, получается «годовой господин» или «богач года» — такое прозвище могли дать человеку, родившемуся в удачный, урожайный год, либо тому, кто разбогател за один сезон.

Другая версия, менее вероятная, но допустимая: искажённое тюркское «сарбай» (от «сары» — жёлтый, белокурый + «бай»). В русской записи «с» могло перейти в «ц» под влиянием местных говоров или при переписи. Тогда Царбаев — это «сын светловолосого (или рыжеватого) хозяина».

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и Поволжью, где смешивались тюркские и кавказские языки. Встречается у чеченцев, ингушей, кумыков и татар. В славянской среде эта фамилия не формировалась — её принесли с собой переселенцы или крещёные инородцы, чьи имена адаптировали к русской паспортной системе в XIX веке.

Сословно предки Царбаевых скорее всего были вольными общинниками или узденями (у горских народов — свободное сословие ниже князей), но не рабами и не знатью. Фамилия не указывает на принадлежность к дворянству — она бытовая, по личному имени предка.

Если вы ищете свои корни, стоит проверить записи метрических книг Чечни, Дагестана или Астраханской губернии за конец XIX века — именно там фамилия фиксируется наиболее плотно.