Фамилию Цаур проще всего объяснить через прозвище — скорее всего, её дали человеку, который что-то делал не так, как все, или имел заметную особенность. В русских говорах и в украинском языке «цауром» или «цавром» называли упрямого, своенравного человека, а также того, кто постоянно спорит или капризничает. Слово это звукоподражательное, родственное глаголу «царать» — брюзжать, ворчать. В некоторых диалектах «цаур» означало ещё и «засохшая ветка», «коряга», и тогда прозвище могло относиться к сухопарому, долговязому человеку.

Фамилия образована без суффикса, напрямую от прозвища, что для русских фамилий встречается реже, чем формы на -ов или -ин. Такая модель — «чистая» основа — характерна для прозвищных фамилий украинского и белорусского происхождения, а также для южнорусских регионов. Поэтому логично предположить, что корни фамилии Цаур — в западнорусских землях или на Слобожанщине, где смешивались русские и украинские говоры.

Встречается фамилия и в других вариантах написания — Цавур, Цауров. Последний вариант уже «обрусел» за счёт суффикса -ов, что часто происходило при переезде носителей в центральные губернии или при записи в ревизские сказки. В современных телефонных справочниках и базах данных Цауры чаще всего фиксируются в Белгородской, Воронежской и Ростовской областях, что подтверждает южнорусский след.

Есть и более редкая версия, связывающая фамилию с тюркскими корнями: в некоторых тюркских языках «цаур» — искажённое «чаур», «чора» (воин, богатырь). Но эта гипотеза слабее, потому что фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов и не образует гнезда однокоренных фамилий в Поволжье или на Урале. Прозвищное происхождение от диалектного слова надёжнее и объясняет и географию, и вариантность написаний.

Какой бы ни была точная история, ясно одно: предок носителей фамилии Цаур получил своё прозвище не случайно — либо за характер, либо за внешность, и это прозвище закрепилось за родом безо всяких приставок и окончаний.