Фамилия Цаюк — нечастый гость в русских справочниках, и именно эта редкость делает её интересной. Она явно происходит из западнорусских или украинских земель, на что указывает суффикс -юк. В ономастике это классический «патронимический» формант, характерный для Волыни, Подолья и Полесья: он означает «сын» или «потомок» человека, чьё имя или прозвище легло в основу. В данном случае основа — «Цай» или «Цайко».

Самый прямой путь к разгадке — связь со словом «цай» (диалектное «чай»). В говорах юго-западной Руси и Беларуси «цай» — это и напиток, и растение. Прозвище Цай могли дать чаеводу, торговцу чаем или человеку, который любил этот напиток настолько, что оно стало его бытовым именем. Вторая версия, менее очевидная, но возможная: «Цай» — сокращение от немецкой фамилии Цайтлер или Цайс, которая попала в среду переселенцев. Однако для русской и украинской среды первая версия правдоподобнее: прозвища по привычкам и занятиям давали часто.

Суффикс -юк в фамилии Цаюк указывает на то, что фамилия закрепилась в крестьянской или казацкой среде, где патронимическая модель была основной. В отличие от дворянских фамилий на -ов/-ев, которые часто фиксировали принадлежность к помещику, -юк — маркер свободного или полузависимого человека, чья фамилия образовалась от личного прозвища отца. Носители фамилии Цаюк сегодня встречаются в основном в Украине (особенно в Житомирской, Хмельницкой областях) и в приграничных районах Беларуси. В России она редка и чаще всего — след миграции XIX–XX веков.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить картину. Цаенко, Цайко, Цаевский — все они от той же основы «цай», но с разными суффиксами, что говорит о разных регионах и времени формирования. Цаюк — самая «западная» из них, с типично украинским окончанием, которое почти не встречается в великорусских землях. Так что, скорее всего, предки человека с фамилией Цаюк жили на территории современной Западной Украины или юга Беларуси, и их прозвище возникло из бытовой детали — чаепития, торговли или даже насмешки над любителем этого напитка.