Фамилия Цивунов — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, образовалось не от русского, а от украинского или белорусского корня. В основе лежит слово «цивун» (или «цевун»), которое в юго-западных говорах означало «болтун», «пустомеля» или «человек, который говорит невпопад». Встречается и более конкретное значение — «крикун», «горлопан». То есть первый носитель фамилии, вероятно, получил её за особенность речи: любил поговорить, перебивать или шуметь.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую модель образования от прозвища, оканчивающегося на твёрдый согласный. В украинской среде та же основа дала бы фамилию Цивуненко или Цивуняк. В русских документах фамилия встречается крайне редко, и если не брать в расчёт случайные переселения, её география тяготеет к южным областям России, граничащим с Украиной, — Курской, Белгородской, Воронежской. Там диалектное слово «цивун» было в ходу.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с литовским или жемайтским корнем (ср. лит. cyvinti — «пищать», «визжать»). В таком случае Цивунов — это фамилия балтийского происхождения, русифицированная через суффикс -ов. Однако для этого нужно, чтобы предок жил в зоне пограничья, например, на Смоленщине или в бывшем Великом княжестве Литовском, где смешивались славянские и балтийские говоры.

В любом случае, фамилия Цивунов — не от имени, не от ремесла, а от живого, чуть насмешливого прозвища. Такие фамилии обычно давали не в официальных бумагах, а в быту, и закреплялись они за конкретным человеком, чья манера говорить или вести себя была заметна окружающим.