Фамилия Цуникова образована от прозвища Цуник, а оно, в свою очередь, восходит к украинскому слову «цюник». Так в украинских говорах называют тростникового воробья — небольшую, юркую птицу, обитающую в зарослях камыша у воды. Скорее всего, основатель рода получил это прозвище за внешнее сходство с птицей или за сходный нрав: подвижность, суетливость, неумение сидеть на месте. Прозвища по птицам — распространённый пласт восточнославянских фамилий, они могли подмечать и манеру речи, и походку, и особенности характера.

Менее вероятно, но всё же возможно, что прозвище Цуник связано с другим значением того же слова — «маленькая серебряная монета, найденная в земле». В этом случае прозвище могло закрепиться за удачливым кладоискателем или за человеком, который нашёл такую монету и чем-то выделился на этом фоне. Однако эта версия выглядит слабее: прозвища по птицам встречаются чаще, чем прозвища по мелким находкам.

Не стоит исключать и вариант, что Цуник — это мирское имя, которое давали ребёнку в дохристианскую эпоху или в среде старообрядцев, где сохранялась традиция нецерковных имён. Мирские имена нередко брали от названий животных и птиц, чтобы защитить ребёнка от сглаза или передать ему желаемые качества.

Фамилия Цуникова — женская форма, а мужская, Цуников, закрепилась за потомками человека с прозвищем Цуник. Модель образования простая и типичная для восточнославянских фамилий: к основе на согласный добавлялся суффикс -ов, отвечавший на вопрос «чей?», то есть «сын Цуника». Со временем притяжательное значение стёрлось, и фамилия стала наследственной, переходя от отца к детям независимо от того, помнили ли родственники про воробья или монету.

Фамилия редкая, географически тяготеет к южнорусским и украинским регионам, где слово «цюник» было в обиходе. В письменных источниках она почти не встречается, поэтому говорить о знаменитых носителях или о закреплении за конкретным сословием не приходится — перед нами типичная крестьянская фамилия, возникшая в среде, где прозвища передавались устно и лишь потом фиксировались в документах.