Прозвище Цуник восходит к украинскому нарицательному «цюник». Так на Украине называют тростникового воробья. Возможно, основатель рода Цуниковых получил своё прозвище за какое-либо внешнее сходство с воробьём. Менее вероятно, что прозвище Цуник связано с другим значением этого слова – «маленькая серебряная монета, найденная в земле». Также не исключено, что в основе фамилии Цуникова лежит мирское имя Цуник. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Цуник, со временем получил фамилию Цуникова.