Фамилия Цуниковы образована от прозвища Цуник, которое восходит к украинскому нарицательному «цюник». Так на Украине называют тростникового воробья — небольшую птицу, обитающую в камышовых зарослях у воды. Скорее всего, основатель рода получил это прозвище за внешнее сходство с птицей: возможно, за юркость, невысокий рост или особый говор. Не исключено и то, что Цуник — это мирское имя, которое в древности давали человеку в дополнение к крестильному, чтобы уберечь его от сглаза и злых сил.

Менее вероятна связь прозвища с другим значением слова «цюник» — «маленькая серебряная монета, найденная в земле». Если эта версия верна, то прозвище Цуник мог получить человек, которому посчастливилось найти клад или старинную монету. Однако эта гипотеза выглядит слабее: прозвища, данные по внешности или повадкам, встречаются в народной традиции гораздо чаще, чем прозвища, связанные с единичным событием вроде находки.

О точном месте и времени возникновения фамилии Цуников говорить сложно: процесс формирования русских фамилий растянулся на несколько столетий и завершился в основном к концу XIX века. Суффикс -ов указывает на принадлежность к роду: Цуников — сын Цуника, потомок того самого человека, которого когда-то прозвали за сходство с камышовой птицей. Сама фамилия остаётся редкой, что неудивительно: исходное прозвище имело узкую региональную основу и не получило широкого распространения за пределами украинских земель, где его и давали.