Фамилия Цыбикжапов — редкий пример, где монгольское (бурятское) личное имя соединилось с русским патронимическим суффиксом. Разберём её по частям.

Основа фамилии — имя Цыбикжап. Оно составное. Первая часть, «Цыбик», восходит к тибетскому «цэвэг» (tshe dpal) — «сияние жизни» или «блеск долголетия». Вторая часть, «жап» (skyabs), означает «защита», «покровительство». В буддийской традиции, распространённой среди бурят, такие имена давали с пожеланием долгой и защищённой жизни. Цельное имя Цыбикжап можно перевести как «защищённый сиянием жизни» или «покровительство долголетия».

Суффикс «-ов» — типично русский, указывающий на принадлежность: «чей?» — Цыбикжапов. Так в XIX — начале XX века, при переходе бурят на оседлый образ жизни и в ходе христианизации, оформляли фамилии по русскому образцу. Сын человека по имени Цыбикжап становился Цыбикжаповым.

Фамилия почти наверняка имеет корни в Забайкалье, прежде всего в Бурятии или Агинском Бурятском округе. Там такие составные имена с тибетскими элементами — обычное дело. Встречаются однокоренные варианты: Цыбиков (от более краткого имени Цыбик), Цыбиктаров, Цыбикдоржиев — все они из одного гнезда, но с разными вторыми основами.

Сословно предки носителя фамилии, скорее всего, были бурятами-скотоводами, охотниками или казаками. В Забайкальском казачьем войске служило много бурят, и фамилии на «-ов» у них фиксировались в военных списках. Дворянства у этой фамилии не было — это типичная народная, крестьянская или казачья фамилия, возникшая в XIX веке.

Особенность написания — буква «ы» после «ц». В русской орфографии после «ц» в корне обычно пишется «и» (цирк, цифра), но здесь работает правило: в фамилиях и именах собственных, особенно иноязычного происхождения, написание сохраняет оригинальное звучание. Поэтому «Цыбикжапов» — норма, а не ошибка. В паспортах и документах такая форма закрепилась и не склоняется по общему правилу.

Коротко: фамилия означает «принадлежащий Цыбикжапу», где имя — буддийское пожелание долгой жизни под защитой. Искать корни нужно в Бурятии, а предки были людьми, для которых русская фамилия стала новым, но прочным элементом идентичности.