Фамилия Узундай — редкая и звучит не по-русски. Её происхождение почти наверняка тюркское, и разобрать её стоит через призму прозвища, а не через русские суффиксы. Основа фамилии — тюркское слово «узун» (длинный, долгий). Вторая часть «-дай» — это, скорее всего, формант, характерный для тюркских языков, образующий прозвища или имена (сравните с татарскими фамилиями на -бай, -тай, -дай). Таким образом, исходное прозвище Узундай могло означать «длинный» или «долгий» — в прямом смысле (высокий человек) или переносном (долготерпеливый, медлительный).

Слово «узун» широко распространено в тюркских языках: от турецкого и азербайджанского до татарского и башкирского. Встречаются и однокоренные фамилии: Узунов, Узюн, Узунбаев. Но форма «Узундай» указывает на более сложную модель — не просто на качество, а на прозвище-характеристику, возможно, данное конкретному человеку. Суффикс «-дай» может быть остатком древнего тюркского аффикса, который придавал слову значение «подобный» или «имеющий свойство» (как в именах Каратай, Боздай).

Географически фамилия Узундай почти не встречается в центральной России. Её носители — это, скорее всего, потомки тюркских народов Поволжья (татары, башкиры), Северного Кавказа (кумыки, ногайцы) или юга Сибири. В русском контексте фамилия могла закрепиться без изменений, без добавления типичных русских суффиксов -ов или -ин, что говорит о поздней фиксации или о сохранении исходной формы в среде, где русский язык был не основным. В дворянских или крестьянских списках XIX века такая фамилия — редкость; скорее, она бытовала как родовое имя в тюркских общинах.

Есть и альтернативная, но менее вероятная версия: связь с монгольским «узун» (вода) или с калмыцким «узун» (длинный). Но тюркское происхождение выглядит убедительнее из-за широкой распространённости именно тюркского «узун» в антропонимии. Если ваши предки носили фамилию Узундай, то, скорее всего, они были выходцами из среды, где ценили меткие прозвища по внешности или характеру — и это прозвище пережило века, почти не изменившись.