Фамилия Валильщикова — женская форма от Валильщиков, и её разбор стоит начать с редкости суффикса. В русских фамилиях продуктивны -ов/-ев, -ин, -ский, а вот -щиков встречается заметно реже и почти всегда указывает на конкретное ремесло. Модель образования простая: основа глагола + суффикс -льщик (тот, кто занимается действием) + фамильный суффикс -ов. То есть Валильщиков — сын валильщика.

Кем был этот валильщик? В старом русском языке валить означало не только «опрокидывать», но и «сбивать, уплотнять, сваливать ворс». Валильщик — мастер по валянию: из шерсти делали войлок, валенки, кошмы. В словаре Даля «валяльщик» (с «я») — это работник, который валяет сукно или шерсть. Но написание через «и» (Валильщиков) — не ошибка, а диалектное или историческое чередование: в ряде говоров говорили «валить» вместо «валять», особенно на севере и в Сибири. Так что предок-носитель фамилии почти наверняка был ремесленником, занимавшимся валяльным делом — производством войлока или грубого сукна.

Фамилия не из самых частых. Она не попала в общерусские боярские списки, не встречается в старомосковской аристократии. Скорее всего, Валильщиковы — выходцы из среды посадских людей или государственных крестьян, которые работали на валяльных мануфактурах. В XIX веке такое прозвище-фамилия могло закрепиться за целой династией мастеров в одном селе или слободе, где валяльное производство было основным промыслом. Географически фамилия тяготеет к регионам с развитым овцеводством и суконным делом: Вологодчина, Тверская, Костромская губернии, а также Урал.

Уникальная деталь: в написании Валильщиков (а не Валяльщиков) сохранилась живая разговорная форма, которую не «исправили» при переписях. Это говорит о том, что фамилия записана со слов самого носителя, а не чиновником, привыкшим к литературной норме. Такое написание — редкий лингвистический след, показывающий, как на самом деле звучало слово в конкретной местности.