Фамилия Варжицкая — женская форма, мужской вариант — Варжицкий. Её основа, судя по всему, имеет польское или западнорусское происхождение, что сразу же задаёт географический и культурный контекст поиска. Суффикс -цк- (или -ск-) типичен для шляхетских и дворянских фамилий Речи Посполитой: он указывал на принадлежность к местности, владению или родовому гнезду. Поэтому первое, что приходит на ум — фамилия образована от названия населённого пункта вроде Варжице, Варж или Варжа.

Корень варж- в славянских языках неоднозначен. Самая прямая версия — связь с глаголом «варжить» или «варганить» (в диалектах — делать, мастерить, иногда с оттенком суеты или шума). В польском языке есть слово warzyć — варить, кипятить, а также warzyć się — ссориться, браниться. Соответственно, прозвище Варжица мог получить либо повар, варщик пива или сбитенщик, либо человек с неуживчивым характером, любитель покричать. Вторая, менее очевидная версия — от личного имени Варфоломей (в народной форме Варжа, как Федя от Фёдор), но это спорно: такая трансформация встречается редко и требует документальных подтверждений.

С точки зрения социального статуса, фамилия с окончанием -цкий в Российской империи часто сигнализировала о дворянском происхождении, но не обязательно: её могли получить и крестьяне, переселившиеся из польских или белорусских земель, и мещане, чьи предки владели хутором или местечком. Варжицкие (и Варжицкие) встречаются в ревизских сказках и метриках XIX века на территории современных Беларуси, Украины и восточной Польши — в зоне, где смешивались польская, украинская и белорусская ономастика.

Интересная деталь: ударение в фамилии может падать как на второй слог (Варжицкая), так и на первый (Варжицкая), в зависимости от местной традиции. Второй вариант чаще встречается в польском произношении, где ударение фиксированное на предпоследнем слоге. Это ещё один штрих, который указывает на вероятную миграцию носителей: если в семье говорят «Варжицкая» с ударением на «жи», скорее всего, корни из западнорусских губерний, где ударение подвижное.

Таким образом, предок Варжицкой мог быть владельцем или жителем деревни Варжице (гипотетическое название), либо человеком с прозвищем, связанным с варкой или сварливостью. Точного ответа без генеалогического поиска по конкретной местности не дать, но круг поиска сужается до территории бывшей Речи Посполитой, а время возникновения фамилии — не ранее XVI–XVII веков, когда закрепилась модель на -ский/-цкий.