Фамилия Верегина — женская форма, а её мужской вариант Верегин. Сразу бросается в глаза редкий для русских фамилий суффикс -ин, который обычно указывает на принадлежность («чей?»), но основа здесь нестандартная. В отличие от привычных Иванов или Петров, корень «верег-» почти не встречается в современных именах или профессиях. Это значит, что прозвище или имя, от которого пошла фамилия, было либо очень локальным, либо диалектным.

Самый прямой путь — глагол «вережать» или «вередить», который в северных и сибирских говорах означал «портить, вредить, делать назло». Отсюда «верега» — человек, который постоянно пакостит, или, в более мягком варианте, просто неуживчивый, сварливый. Вологодские и архангельские говоры сохранили слово «верега» именно в значении «вредный человек». Такую фамилию могли дать предку как прозвище по характеру — не обязательно злому, но колкому или придирчивому. Альтернатива — связь с «верегом», то есть «верещанием» или скрипом, но это уже совсем редкая ветвь.

Суффикс -ин типичен для кратких притяжательных прилагательных: Верегин — сын Вереги. То есть фамилия образована не от полного имени (как Фёдоров), а от прозвища, которое уже само по себе звучало как имя в быту. В документах XVI–XVII веков на Русском Севере встречаются крестьяне и посадские люди с прозванием Верега, и именно оттуда, скорее всего, фамилия и пошла.

Другие версии — связь с «верегом» как названием рыбацкой снасти (верега — сеть) или с растением «вереск», но они слабее. В ономастических трудах (например, у Б. Унбегауна) подобные прозвищные фамилии на -ин разбираются как типичные для северных регионов, где прозвища часто вытесняли крестильные имена в быту. Если ваши предки из Архангельской, Вологодской или Вятской губерний, версия с «вережать» — самая правдоподобная.