Фамилия Верейкина — женская форма, а мужская, Верейкин, в основе своей имеет прозвище или нецерковное имя Верейка. Чтобы понять корень, нужно заглянуть в историю русских говоров и ремёсел. Самая вероятная версия связывает фамилию со словом «верейка» — так в некоторых регионах называли вершу, рыболовную снасть из прутьев. В этом случае предок мог быть рыбаком, изготовителем таких снастей или жить у реки, где ловили рыбу верейками. Слово «верея» (от которого уменьшительное «верейка») в древнерусском языке означало также столб ворот, на который навешивается створка, — отсюда прозвище могли дать высокому, прямому человеку, похожему на воротный столб.

Менее распространённая, но тоже правдоподобная гипотеза выводит Верейкина от названия города Верея (ныне в Московской области). Житель Вереи мог получить прозвище Вереец или Верейка, а его потомки — фамилию Верейкины. Однако такая топонимическая модель чаще образует фамилии на -ский (Верейский), а суффикс -ин (-ын) типичен для «именных» фамилий, образованных от прозвища или имени. Поэтому версия с рыболовной снастью или воротным столбом выглядит более органичной для этой словообразовательной модели.

Суффикс -ин в фамилии Верейкина указывает на принадлежность: «чей?» — Верейкин, то есть сын или потомок Верейки. Такая модель была распространена в северных и центральных землях России, особенно в крестьянской и мещанской среде. В документах XVII–XVIII веков форма Верейка встречается как прозвище: например, в переписных книгах по Рязанскому краю упоминаются крестьяне с таким именованием.

Особенность фамилии — её относительная редкость и прочная привязка к конкретным промысловым или бытовым реалиям. В отличие от фамилий на -ов, которые часто образовывались от полных крестильных имён, Верейкины стоят ближе к прозвищному пласту, где за основу брали не имя, а характерный признак человека или его занятие. Если ваш предок был Верейкиным, скорее всего, он происходил из среды ремесленников или крестьян, тесно связанных с водой и рыболовством.