Фамилия Вервейко — украинская по происхождению, с характерным суффиксом -ко, который в южнорусских землях часто присоединяли к прозвищам, превращая их в наследственные фамилии. В основе лежит прозвище Вервей, а оно, в свою очередь, происходит от украинского существительного «верва». Слово это имеет значение «увлечение, порыв, вдохновение» — то есть описывает человека, который легко загорается, быстро увлекается, но так же быстро может остыть. Вервейко — это фамилия-характеристика: так могли назвать человека легкомысленного, влюбчивого, с переменчивыми пристрастиями, того, о ком говорили «вервея».

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -к- (в форме -ко) указывает на уменьшительность или принадлежность, а окончание -о типично для украинских фамилий, образованных от прозвищ. Если бы фамилия закрепилась в русской среде, она, скорее всего, приняла бы форму Вервейков, но украинская традиция сохранила исходную основу без дополнительного суффикса -ов/-ев.

Интересно, что слово «верва» в украинском языке не единственное в этом гнезде. Есть и глагол «вервіти» — «порываться, стремиться». Прозвище Вервей могло закрепиться за человеком порывистым, непоседливым, который не сидит на месте. Со временем это прозвище, сначала бытовавшее в кругу семьи или односельчан, полностью вытеснило крестильное имя и попало в официальные документы, став фамилией.

Географически фамилия Вервейко встречается преимущественно на территории современной Украины и в южных областях России, куда переселялись украинские крестьяне. В словарях украинских фамилий подобные случаи описаны как типичные для прозвищ, образованных от абстрактных понятий, — они давали меткую и краткую характеристику человеку.