Фамилия Веревейко звучит необычно для современного уха, но её механизм образования прозрачен. Это типичная фамилия украинского или белорусского происхождения, созданная с помощью патронимического суффикса -ейко. В украинской и белорусской ономастике этот суффикс (как и -енко, -ук, -ик) указывал на родство: «Веревейко» — буквально «маленький Веревей», «сын Веревея» или «потомок Веревея». Сама основа «Веревей» — это, скорее всего, прозвище.

Корень слова, вероятно, связан с глаголом «верещать» или «веревкать» — в диалектах так говорили о скрипучем, визгливом голосе или о человеке, который издаёт резкие, неприятные звуки. В русских говорах «веревея» — это вертлявый, непоседливый человек, или же тот, кто постоянно «верещит», надоедает жалобами. Таким образом, первый носитель прозвища Веревей мог получить его за голос, характер, или за манеру поведения.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «верея» — столб, на который навешивают ворота, или часть ткацкого станка. В этом случае прозвище могло достаться плотнику или мастеру по дереву. Однако голосовая версия (от «верещать») встречается в фамилиях чаще и поддерживается прямым параллелизмом: есть фамилии Веревкин, Верещагин, Верещака — все они образованы от того же корня и указывают на крикливого или говорливого человека.

Суффикс -ейко характерен для Волыни, Полесья и западно-белорусских земель. Встречается он и в польской традиции (как -ejko). Поэтому предки Веревейко с большой вероятностью жили в западных регионах современной Украины или Беларуси. Фамилия не относится к дворянским: в старых списках шляхты она не зафиксирована. Это крестьянская или мещанская фамилия, которая фиксировала личное прозвище главы семьи.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые в русской среде быстро вытеснили прозвища, Веревейко сохранила старую уменьшительно-патронимическую форму. По той же модели образованы фамилии Андрейко, Грицейко, Демейко. Веревейко — редкая фамилия, и её носители, скорее всего, происходят из одной или нескольких соседних деревень, где прозвище Веревей было в ходу.