Фамилия Веремейко образована от крестильного имени Иеремия, которое в переводе с древнееврейского означает «возвышенный Богом». У восточных славян, особенно на украинских и белорусских землях, это имя дало множество народных форм. Одна из них — Веремей — и стала непосредственной основой для фамилии.

Ключевая особенность фамилии — суффикс -ко, типичный для украинской и белорусской ономастики. В этих языках суффикс -ко выполнял две функции: указывал на принадлежность к роду («чей?») или имел уменьшительно-ласкательный оттенок. Таким образом, Веремейко можно понимать как «маленький Веремей» или «сын Веремея» (по аналогии с тем, как в русском языке суффикс -ов/-ев означает «чей?»).

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Веремейко стоит в одном ряду с Веремеевым, Веремейчуком и Веремиенко. Разница лишь в том, какой суффикс выбрали при оформлении фамилии в конкретной местности. Веремейко — вариант преимущественно западных регионов бывшей Российской империи: современной Беларуси, западной Украины и приграничных районов России.

С точки зрения социального контекста, фамилия на -ко в XIX веке чаще всего встречалась у крестьян и казаков. Это не значит, что предки обязательно были простыми людьми, но указывает на среду бытования: такие фамилии редко давали дворянам, которые чаще носили фамилии на -ский или -ов.

Итог: Веремейко — типичная западнорусская фамилия, образованная от народной формы библейского имени Иеремия с помощью уменьшительно-патронимического суффикса -ко. Прямое значение — «потомок Веремея».