Фамилия Веремеенко образована по распространённой восточнославянской модели с суффиксом -енко, который в украинской и белорусской традиции означает «сын» или «потомок». Поэтому Веремеенко — буквально «сын Веремея». В основе лежит народная форма крестильного имени Иеремия, которое пришло из древнееврейского и означает «возвышенный Богом» или «Яхве возвысит». В русском языке это имя перешло в обиходный вариант Веремей: усечение начального гласного и упрощение звукового состава типичны для народной переработки библейских имён.

Словообразовательная цепочка проста: церковное Иеремия → разговорное Веремей → фамилия Веремеенко. Суффикс -енко, хотя чаще всего связывается с украинской ономастикой, встречается и на южнорусских территориях, в пограничных областях. Поэтому носители фамилии Веремеенко могли происходить как из современной Украины, так и из Курской, Белгородской или Воронежской губерний.

Интересная деталь: в русских говорах имя Веремей иногда закреплялось за человеком как прозвище, не связанное напрямую с крещением, — так могли назвать кого-то за важный, «возвышенный» нрав или за высокий рост, обыгрывая значение имени. Однако первичным источником остаётся именно календарное имя, которое давали при крещении. Других версий происхождения — от прозвища по роду занятий или от географического названия — для фамилии Веремеенко нет, и это делает её этимологию прозрачной и однозначной.

Сословный состав носителей фамилии не зафиксирован в массовых источниках, но модель на -енко в XVII–XVIII веках была характерна для казачьих и крестьянских родов, реже — для мещан. Фамилия не указывает на дворянское происхождение, но и не исключает его: в реестрах Запорожского войска встречаются близкие формы. Таким образом, предки Веремеенко — скорее всего, свободные земледельцы или казаки, носившие имя Веремей в быту.