Фамилия Веремеюк образована от крестильного мужского имени Иеремия. В русской народной среде это библейское имя, которое переводится с древнееврейского как «возвышенный Богом», упростилось до формы Веремей. Именно она и легла в основу фамилии.

Ключевая особенность здесь — суффикс -юк. В украинской ономастике он выполняет ту же роль, что русские -ов или -ин: указывает на принадлежность. Если Веремеюк, значит, «сын Веремея» или «потомок Веремея». Этот суффикс характерен для западных и центральных областей Украины, а также для юго-западных регионов Беларуси. Сама фамилия Веремеюк, скорее всего, сформировалась на территории, где говорят на украинских говорах, а не в великорусских землях.

Интересно, что имя Иеремия в народном произношении дало несколько родственных фамилий-«однокоренников»: Веремеев, Веремейчик, Веремейко. Веремеюк стоит в этом ряду особняком именно благодаря своему патронимическому суффиксу, который четко указывает на регион происхождения и модель образования: не просто «принадлежащий Веремею», а именно «его сын» или «малый Веремей».

В отличие от фамилий на -ов, которые часто носили крестьяне и служилые люди центральной России, фамилии на -юк в массе своей закрепились за крестьянским сословием Правобережной Украины, где процесс получения фамилий шел позже и по другой модели. Веремеюк — это не прозвище по профессии, а чисто семейное имя, указывающее на родство: предок этого рода носил имя Веремей.

Других, альтернативных версий происхождения у этой фамилии нет: корень однозначно восходит к каноническому имени, а не к какому-либо нарицательному слову или прозвищу.