Фамилия Веремеинко — один из тех случаев, когда форма подсказывает географию быстрее, чем корень. Суффикс -енко — типичный украинский патронимический формант, означающий «маленький» или «потомок». В дословном переводе: «сын Веремея». Встречается фамилия почти исключительно на востоке Украины и в южных областях России, куда в XVIII–XIX веках перемещались малороссийские крестьяне и казаки.

Основа Веремей — это народная, разговорная форма крестильного имени Иеремия (от древнееврейского «Яхве возвысит»). В русской и украинской традиции имя Иеремия переделали до Еремея, а в говорах, особенно в южнорусских и украинских, «Еремей» мог звучать как «Веремей» (с протетическим начальным «в», которое иногда появляется в диалектах перед гласными). Таким образом, Веремеинко — это «потомок Веремея».

С социальной точки зрения фамилия типична для крестьянской и казачьей среды. В реестрах Запорожского войска и в метрических книгах Полтавской, Харьковской, Черниговской губерний фамилия Веремеинко (и её варианты — Веремеенко, Веремейченко) встречается часто. Носители её были, как правило, свободными земледельцами или казаками, реже — мещанами. Дворянских родов с такой фамилией история не зафиксировала, что косвенно подтверждает её простонародное происхождение.

Любопытная деталь: ударение в фамилии плавает. В украинской среде чаще говорят Вереме́инко (с ударением на «е»), а в русскоязычной — Веремеи́нко (на «и»). Оба варианта допустимы, но первый ближе к исходному произношению имени Веремей.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Веремеинко стоит в одном ряду с Еремеевым, Ерёменко, Иеремиевым. Разница лишь в суффиксе и диалектной огласовке: Еремеев — русская форма (чей? — Еремея), Ерёменко — украинская (сын Ерёмы), а Веремеинко — та же украинская модель, но с местным произношением основы.