Фамилия Веремейчук — один из вариантов, образованных от мужского крестильного имени Иеремия. В переводе с древнееврейского оно означает «возвышенный Богом» или «Яхве возвысит». В народной среде это имя быстро обрастало разговорными формами: Еремей, Веремей, Ерёма. Основа Веремей- указывает на западнорусское или украинское произношение, где начальное «Е» перешло в «Ве» — так появилось Веремей, а не привычное Еремей.

Суффикс -чук типичен для фамилий, сложившихся на территории современной Украины и Беларуси. Он указывает на родственную связь: Веремейчук — буквально «сын Веремея» или потомок человека по имени Веремей. Такая модель распространена в западных и центральных областях, где фамилии на -ук/-юк и -чук заменяли собой русские отчества на -ов/-ев.

Особенность фамилии в том, что она сохранила редкий для русской ономастики переход «Е» в «Ве». В письменных источниках XVIII–XIX веков можно встретить и форму Веремеев, и Веремейчук — географически они разошлись: первая чаще встречается в великорусских губерниях, вторая — в малороссийских. Если предки носителя фамилии были крестьянами или казаками, то имя Иеремия в его народном варианте могло передаваться через поколения, пока не закрепилось как фамильное прозвище.

Других надёжных версий происхождения нет. Связь с польским wrzemię (время) или литовским vėrimas (протыкание) маловероятна: фамилия слишком чётко вписывается в славянскую модель от крестильного имени. Ономастические словари, в частности работы Б. Унбегауна, подтверждают, что фамилии на -чук от имени Еремей (Веремей) относятся к продуктивным типам украинской антропонимии.