Фамилия Веверица — редкий случай, когда в основе лежит не прозвище и не профессия, а древнее славянское название животного. В древнерусском языке «веверица» означала белку, причём не просто зверька, а пушного, ценного. В летописях и берестяных грамотах это слово встречается как название меха, который использовали как денежную единицу: одна веверица была самой мелкой разменной «монетой» в домонгольской Руси. Так что предок человека с этой фамилией мог быть либо охотником-белковщиком, либо торговцем пушниной, либо просто человеком, получившим прозвище за ловкость и вертлявость — белку ведь иначе и не назовёшь.

Модель образования простая: суффикс -иц- указывал на самку животного (ср. «курица» от «кур», «лисица» от «лис»). Сама фамилия сохранила архаичное окончание -а, что нетипично для русских фамилий на -ов/-ев. Чаще всего такие формы на -а встречаются в украинской и белорусской традиции (Вевериця), но и в русских говорах, особенно в северных и псковских, слово «веверица» дожило до XIX века. В псковских говорах, кстати, «веверицей» называли не только белку, но и мелкую монету, что лишний раз подтверждает связь с торговлей.

Спорных версий здесь почти нет. Иногда фамилию путают с еврейской фамилией Вейвер, но это случайное созвучие. Куда интереснее, что у Веверицы есть однокоренные «родственники»: фамилия Вевер (с усечением суффикса), а также польская Wiewiórka — точная калька. В русских переписных книгах XVI–XVII веков фамилия встречается единично, в основном на северо-западе: в Новгородской и Псковской землях. Это объяснимо: там пушной промысел был основой хозяйства, а местные говоры дольше хранили древнюю лексику.

География фамилии сегодня неширокая: Веверицы встречаются в Вологодской области, в Беларуси (особенно в Витебской) и на Украине. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был из крестьян-северян, возможно, из тех, кто ходил «за белкой» в лесные угодья. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована — это чисто народное, крестьянское или мещанское прозвание, которое не успело обрасти мифами и легендами.