Фамилия Вялъцев — редкий случай, когда написание сразу подсказывает путь к разгадке. Буква «ъ» (твёрдый знак) после корня — это не орфографическая ошибка и не прихоть, а прямое указание на происхождение от слова «вялый». В старой русской орфографии, до реформы 1918 года, твёрдый знак писали после согласных на конце слов, а в середине слова он мог разделять приставку и корень. Здесь же «ъ» стоит в корне «вялъ» — это вариант написания, который встречался в документах XIX — начала XX века, когда звук [ъ] на месте современного [ы] в корнях ещё фиксировали на письме. Так что Вялъцев — это буквально «сын вялого».

Корень «вял-» в русских говорах имел несколько значений. Основное — «медлительный, апатичный, лишённый энергии». Однако в диалектах слово «вялый» могло означать и «хилый, болезненный», и даже «слабый умом» (в некоторых северных говорах). Прозвище Вялый давали человеку с соответствующим характером или телосложением. Суффикс «-ец» в основе (Вялец) — типичный для русских прозвищ и фамилий уменьшительно-уничижительный или просто указательный: Вялец — «тот, кто вял». От него через притяжательный суффикс «-ев» и образовалась фамилия Вялъцев (Вялец → Вяльцев → в старой орфографии Вялъцев).

Интересно, что фамилия не получила широкого распространения. Она встречается точечно в центральных и северо-западных областях России (например, в Тверской и Псковской губерниях), где слово «вялый» в значении «медлительный» было особенно употребительно. В отличие от массовых фамилий на «-ов» от крестильных имён, Вялъцев — чисто прозвищная, бытовая. Носитель такой фамилии в XVI–XVII веках мог быть крестьянином или посадским человеком, которого «за глаза» прозвали Вялым, а в документах записали с учётом местного произношения.

Сравните с однокоренными: Вялов — самая частая форма (от «вялый» без суффикса), Вяльцев — вариант с суффиксом «-ец», а Вялъцев — архаичное написание, сохранившееся в редких семьях. Если вы встретили именно такое написание, скорее всего, перед вами потомки тех, чья фамилия была зафиксирована до реформы 1918 года и не подверглась «упрощению» в советских паспортах.