Фамилия Вязёнкина нечасто встречается, и её происхождение можно связать с двумя разными источниками, один из которых — топонимический, другой — прозвищный.

Наиболее вероятная и географически привязанная версия ведёт к названию села Вязёнки, которое находилось в Глуховском уезде Черниговской губернии (историческая территория, ныне часть Сумской области Украины). Село стояло на правом берегу реки Кисьени. Название самого села, скорее всего, восходит к слову «вязь» — в говорах так называли топь, болото, вязкое место. Если предок был родом из этого села, его могли прозвать Вязёнкой — «тот, кто из Вязёнок», а уже от этого прозвища по обычной модели образовалась фамилия с суффиксом -ин: Вязёнкин → Вязёнкина.

Вторая версия отталкивается от прозвища Вязёнка, которое связано с диалектным словом «вязёнки» — так в некоторых областях называли вязаные варежки. В этом случае прозвище мог получить человек, который занимался вязанием или торговлей рукавицами. Такие ремесленные прозвища были распространены на Руси: по роду занятий могли назвать и Вязёнкой, и Варежкиным, и Рукавицыным. Суффикс -ёнк- в основе указывает на то, что прозвище могло быть уменьшительным или принадлежать молодому человеку, сыну мастера.

Обе версии правдоподобны, но первая — топонимическая — выглядит более весомой, потому что у неё есть конкретная географическая привязка. Фамилии, образованные от названий сёл, часто давали крестьянам, которых записывали по месту выхода, особенно после отмены крепостного права, когда люди массово переселялись и получали фамилии по покинутой деревне. Вторая версия, хотя и возможна, опирается на более редкое и локальное слово, что делает её менее универсальной.