Фамилия Вязёнкины — редкий случай, когда у прозвища, лёгшего в основу, есть как минимум два равноправных объяснения, и оба ведут в разные стороны: одно — в географию и историю конкретного села, другое — в ремесло и быт.

Первый вариант — топонимический. Существует село Вязёнки, которое в XIX веке относилось к Глуховскому уезду Черниговской губернии и стояло на правом берегу реки Кисьени. Название села, скорее всего, пошло от слова «вязь» — в древнерусском языке так называли топь, болото, вязкое место. Человек, переселившийся из Вязёнок в другую местность, легко получал прозвище Вязёнка или Вязёнкин — по названию родных мест. Такая модель образования фамилий (по названию села или деревни) очень распространена у русских, украинцев и белорусов.

Вторая версия — профессиональная. В северных и центральных русских говорах «вязёнки» — это вязаные шерстяные варежки. Прозвище Вязёнка могли дать тому, кто вязал такие варежки на продажу или торговал ими. Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Вязёнкин — сын Вязёнки, то есть потомок этого ремесленника.

Важно, что обе версии опираются на одно и то же гнездо слов с корнем «вяз-»: вязать, вязкий, вязь (топь). Поэтому даже если точное происхождение фамилии для конкретной семьи остаётся неизвестным, смысловая связь с вязкой, плетением или болотистой местностью — почти несомненна.

Фамилия Вязёнкины — довольно редкая. Она не встречается среди массовых крестьянских фамилий центральной России, что косвенно подтверждает её локальное происхождение, возможно, из Черниговской или соседних губерний. Форма на -ин (а не на -ов) типична для прозвищ, оканчивающихся на -а или -я: Вязёнка → Вязёнкин. Суффикс -ёнк- в основе прозвища (Вязёнка) характерен для украинского и белорусского влияния, что тоже хорошо согласуется с черниговским следом.