Фамилия Вязёнкин — редкий случай, когда у слова-основы есть два совершенно разных жизненных пути: либо географический, либо ремесленный. И в обоих случаях корень один — «вяз», но значения расходятся.

Первая и самая вероятная версия — топонимическая. Фамилию могли дать по названию села Вязёнки, которое стояло на правом берегу реки Кисьени в Глуховском уезде Черниговской губернии. Такие фамилии часто получали крестьяне, переселявшиеся в другие места: их записывали не по имени отца, а по родной деревне. Название самого села, скорее всего, пошло от слова «вязь» — так в говорах называли топь, болотистую низину. Если предки Вязёнкиных действительно жили в той местности, фамилия буквально означает «выходец из Вязёнок».

Вторая версия выводит фамилию из прозвища Вязёнка, которое образовано от диалектного слова «вязёнки» — варежки (обычно вязаные, отсюда и связь с глаголом «вязать»). В этом случае прозвище могло закрепиться за мастером, который вязал варежки на продажу, или за торговцем, который ими торговал. Модель образования здесь та же, что и в фамилиях на -ин: Рукавицын, Шапкин, Сапожкин — все они указывают на род занятий по предмету труда.

Спор между версиями решает суффикс. Фамилии на -ин, образованные от названий сел, — явление обычное (например, Казань → Казанкин, Тула → Тулкин). Но для прозвищ, обозначающих профессию, этот суффикс тоже типичен. Обе гипотезы имеют право на жизнь, но первая (от села Вязёнки) надёжнее: она привязана к конкретному документированному топониму, тогда как вторая опирается на диалектное слово, которое могло быть локальным и не повсеместным.

В любом случае, фамилия Вязёнкин — не про вязкое дерево (вяз), а про что-то, связанное с вязкой или вязью. Болото или варежки — выбирать предку.