Фамилия Вязоветский — один из тех случаев, когда географическое происхождение практически не вызывает сомнений. В её основе лежит топоним, а точнее — название населённого пункта с корнем «вяз-» и суффиксальным оформлением «-оветск-». Скорее всего, речь идёт о селе или местечке Вязоветка, Вязовец или Вязоветск. Такие названия нередки в зоне широколиственных лесов Восточной Европы: вяз — дерево, дававшее имя урочищам, а суффикс «-овет-» указывает на собирательность или принадлежность (ср. Дубоветка, Ольховец). Модель на «-ский» — классическая для польской, украинской и белорусской шляхты, а также для русского духовенства: она означала «родом из такого-то места».

Если обратиться к географии, то наиболее вероятный регион бытования фамилии — западные губернии Российской империи: Могилёвская, Витебская, Волынская или Подольская. Именно там распространены названия с уменьшительно-собирательным суффиксом «-к-а» (Вязоветка). Вязоветские могли быть потомками мелкопоместной шляхты, которая брала фамилию по имени своего поместья, или выходцами из духовного сословия — семинаристов, получавших «географическую» фамилию при поступлении. Второй вариант менее вероятен, поскольку духовные фамилии на «-ский» чаще образовывали от названий сёл с более книжным звучанием.

Интересно, что фамилия сохранила редкую словообразовательную цепочку: корень «вяз-» + суффикс «-ов-» + суффикс «-ет-» (или «-ец-» в диалектном произношении) + «-ск-». Это нестандартная трёхступенчатая модель, которая встречается реже, чем простые «Вязовский» или «Вязовцев». Именно эта особенность делает фамилию Вязоветский более локальной и привязанной к конкретному, ныне, возможно, исчезнувшему селению.

О сословной принадлежности носителей в разные эпохи судить сложно: в дореволюционных метриках Вязоветские встречаются и среди мещан, и среди крестьян. Но если ваши предки происходят из западных губерний, стоит искать не просто село Вязов, а именно Вязоветку или Вязовец — это сузит круг поиска.