Фамилия Вязоветцкий звучит как топонимическая — её основа почти наверняка указывает на географическое название. В русской ономастике суффикс -цкий (или -ский) традиционно закреплялся за выходцами из определённой местности, особенно у дворянства и духовенства. Вязоветцкий — это «тот, кто родом из Вязовца» или «с Вязовки». Корень «вяз-» здесь не столько дерево (хотя и его не стоит сбрасывать со счетов), сколько типичный элемент славянских топонимов: сёл, деревень или урочищ с названием Вязовец, Вязовка, Вязовое.

Таких названий на карте бывшей Российской империи десятки — от Смоленщины до Подолья. Но суффикс -етцкий встречается реже, чем обычный -овский или -инский. Скорее всего, исходный топоним звучал как «Вязовец» (уменьшительное от «вяз» или «вязовый»). Если фамилия польского или белорусского происхождения, то возможна форма Вязовецкий — с ударением на втором слоге. В русском языке со временем «е» могло перейти в «ё» под ударением: Вязовётцкий, но на письме закрепился вариант через «е». Двойное «тт» в середине — орфографическая особенность, возникшая при адаптации: суффикс -етц- + -к- даёт на стыке удвоение.

По сословному признаку фамилия Вязоветцкий могла принадлежать мелкопоместным дворянам (типичная модель для шляхты Речи Посполитой) или священникам, которые часто брали фамилии по названию села, где служили. Среди крестьян и мещан такие формы встречались реже — у них преобладали фамилии на -ов и -ин. Встречаемость фамилии невысокая, что подтверждает её локальное происхождение: скорее всего, предки были выходцами из одного конкретного села Вязовец, а не из нескольких одноимённых.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Вязов, Вязовский, Вязовцев) показывает, что Вязоветцкий — наиболее редкая и детализированная форма. Если Вязов мог получить любой житель вязовой рощи, то Вязоветцкий уже привязывает к конкретному населённому пункту. Такая фамилия — готовый ключ к генеалогии: поиск метрических книг или ревизских сказок стоит начинать с приходов, где упоминается село или деревня Вязовец.