Фамилия Вязоветцки — редкий пример, когда географическая основа и модель образования почти кричат о происхождении, но при этом оставляют простор для догадок. Это типичная фамилия на -цки (-ский), которая в польской и западнорусской традиции указывала на связь с местностью. Корень здесь — «вяз», то есть дерево вяз. Но не спешите думать, что предок был лесорубом или бондарем (хотя и это возможно). Скорее всего, фамилию образовали от названия населённого пункта вроде Вязовец, Вязовка или Вязово. Таких сёл и деревень в Польше, Беларуси и на западе Украины десятки. Человек, переехавший оттуда, получал прозвание «с Вязовца» — Вязовецкий, а в польской огласовке — Вязоветцки.

Суффикс -цки/-ский в этой фамилии указывает на шляхетское или, как минимум, не крестьянское происхождение носителя. В Польше и Речи Посполитой фамилии на -ский носили в основном дворяне, владевшие землёй (даже если это был клочок с одной деревней). Вязоветцки — это вариант написания, который закрепился при переносе в русскую или советскую документацию. В оригинале фамилия могла звучать как Wiązowiecki (с носовой гласной) или Wiazowiecki. Буква «т» перед «ц» — типичная для польской орфографии попытка передать твёрдое произношение, которое в русском языке обычно смягчается.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от прозвища «Вяз» или «Вязовец» — так могли назвать человека за вязкий, упрямый характер или за медлительность (как вязкая глина). Но против этого говорит суффикс. Прозвища редко превращались в фамилии на -цки напрямую, без топонима-посредника. Поэтому географическое объяснение правдоподобнее: предок нынешних Вязоветцки был либо мелким шляхтичем из местечка Вязовец, либо крестьянином, которого записали с панским суффиксом при переписи — такое случалось, если помещик хотел подчеркнуть принадлежность к своему имению.

Фамилия очень редкая. В современных базах данных она встречается единично, в основном на западе России, в Беларуси и среди потомков польской эмиграции. Поиск конкретных носителей затруднён: из-за редкости фамилии её могли искажать при записи — например, превращать в Вязовецкий, Вязовецки или даже Везоветцки. Если вы ищете своих предков, стоит проверять все варианты написания, особенно в метрических книгах XIX века по Гродненской, Минской или Волынской губерниям — там такие «географические» фамилии с польским оттенком были обычным делом.