Фамилия Яншитов — редкий случай, когда прозвищная основа и суффикс указывают на географию точнее, чем обычно. Сразу видно: это тюркское или монгольское имя, к которому пришили русский патронимический суффикс -ов. Разбираем корень «Яншит». Скорее всего, это вариант имени Янши или Янша — усеченной формы от Яншибай, Яншимурат, Яншихан. В тюркских языках «ян» значит «душа» или «сторона», а «шит» — «броня», «щит» (персидское заимствование). Получается «защитник души» или «душа-броня» — красивое прозвище для воина или просто охранителя. Но есть и другая версия: в казанско-татарской среде «яншит» могло быть этнонимом — так называли выходцев из села Яншит (такие топонимы есть в Татарстане и Башкирии). Тогда фамилия не прозвищная, а топонимическая: «Яншитов» — «сын того, кто из Яншита».

Суффикс -ов вместо -ин подсказывает, что основа оканчивалась на согласный. Если бы имя было Янша (на -а), фамилия звучала бы Яншин. Но мы видим Яншитов — значит, в основе лежало полное имя Яншит, Яншид или Яншитбай. Это характерно для татарских и башкирских родов, которые в XVI–XIX веках принимали православие и получали русские фамилии от своих дохристианских имен. Фамилия почти не встречается за пределами Поволжья и Урала: основные носители — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. В дореволюционных переписях Яншитовы записаны в основном как государственные крестьяне и мещане, реже — купцы.

Сравните с однокоренными: Яншинов, Яншиев, Яншаев — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Яншитов — самый редкий из этой группы. Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка был из тюркоязычной среды, принявшей православие, и его имя-прозвище имело воинственный или охранительный смысл. Никаких других версий — ни от русского «янщик» (этого слова нет), ни от польского — у фамилии нет.