Фамилия Яренская — классический пример «географической» фамилии, образованной от названия населённого пункта. В основе лежит топоним с корнем «Яр-»: река Яренга в Архангельской области, село Яренск (ныне город в Ленинградской области, хотя исторически Яренск — старинный город на реке Яренге, ныне село в Архангельской области), а также многочисленные деревни с названием Яр или Яровое по всей России. Человек, переехавший из такой местности, получал прозвище «Яренский» — «тот, кто родом из Яренска или с Яренги». Суффикс -ск- в фамилии указывает на принадлежность к месту, а окончание -ая — на женскую форму, которая закрепилась за носительницей.

Мужской вариант фамилии — Яренский. Такая модель типична для дворянских и духовных фамилий XVIII–XIX веков, но могла возникнуть и у крестьян, если они перебирались в другой уезд и получали прозвище по старому месту жительства. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые чаще образовывались от имени или прозвища отца, «географические» фамилии на -ский реже встречаются у крестьянства центральной России, но обычны на Русском Севере, в Сибири и у выходцев из духовного сословия.

Сложность в том, что корень «яр» многозначен. В древнерусском языке «яр» — это крутой обрыв, овраг, а также «яровой» (весенний) хлеб. В тюркских языках «яр» значит «берег, обрыв». Поэтому фамилия могла возникнуть и от прозвища, данного человеку, жившему у оврага или на обрывистом берегу реки, без привязки к конкретному селу. Однако в случае с Яренской/Яренским более вероятна связь именно с топонимом Яренск, поскольку суффикс -ск- почти всегда указывает на название места, а не на признак местности.

Регионально фамилия тяготеет к Архангельской области и Вологодчине — там, где протекает река Яренга и стоит исторический Яренск. Встречается она нечасто, что неудивительно: фамилии на -ский, образованные от небольших или исчезнувших деревень, обычно остаются локальными и не получают широкого распространения. Если ваши предки носили фамилию Яренские, стоит искать их корни на севере европейской России, в зоне бывшего Яренского уезда.