Фамилия Ярмолаев заставляет задуматься в первую очередь о корне. Если отбросить типичный русский патронимический суффикс -ев (указывающий на принадлежность отцу), остаётся основа «Ярмола». Это ни что иное, как народная, бытовая форма канонического крестильного имени Ермолай. В русской языковой среде имя Ермолай, пришедшее из греческого (Hermolaos — «вестник народа»), часто упрощалось: «Ермолай» превращалось в «Ярмолу» под влиянием аканья (произношения «я» вместо «е») и общего стремления к сокращению. Так что Ярмолаев — это буквально «сын Ярмолы», то есть потомок человека по имени Ермолай.

Словообразовательная модель здесь классическая и прозрачная: личное имя + суффикс принадлежности. Фамилии на -ев, а не на -ов, образованы от основ, оканчивающихся на мягкий согласный или «й» (в имени Ярмола конечный звук мягкий). Это одна из самых распространённых моделей в центре и на севере России, что делает фамилию типично русской по способу образования, хотя само имя имеет греческие корни.

Интересно, что ударение в фамилии может падать как на второй слог (Ярмолáев), так и на третий (Ярмолáев — встречается реже). Первый вариант устойчивее, поскольку он сохраняет ударение исходного имени Ермолай (на последний слог). Второй вариант — результат смещения ударения в бытовой речи, характерного для некоторых регионов.

В историческом контексте носители фамилии Ярмолаев — это, скорее всего, крестьяне или посадские люди. Фамилии на -ев у непривилегированных сословий начали массово оформляться в XVI–XVII веках, когда велась перепись населения для учёта тягла (налогов). Человек получал фамилию по имени отца: раз отца звали Ярмола, значит, его дети — Ярмолаевы. Дворянских родов с такой фамилией практически не встречается, что подтверждает её «народное» происхождение.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, где форма «Ярмола» была особенно распространена. Встречается она и в Беларуси. Если ваш предок носил эту фамилию, с высокой долей вероятности он происходил из крестьянской или казачьей среды, а его отец или дед носил имя Ермолай — достаточно популярное в православных святцах, но в быту почти вытесненное формой Ярмола.