Фамилия Ярмышев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она образована по стандартной русской модели: к основе, оканчивающейся на согласный, добавили патронимический суффикс -ев (вариант -ов после мягких и шипящих). Значит, в основе лежит прозвище или некалендарное имя Ярмыш.

Самый вероятный источник — тюркские языки. Слово «ярмыш» (или «йармыш») в ряде тюркских наречий означает «разбитый», «расколотый», а также «мелкий», «дроблёный». В переносном смысле так могли назвать человека невысокого роста, щуплого телосложения или того, кто занимался дроблением, например, зерна на ручной мельнице. В пользу тюркской версии говорит и распространённость фамилии — её носители встречаются в Поволжье и на Урале, в зоне исторических контактов русских с татарами и башкирами.

Существует и альтернативное объяснение, менее убедительное. В некоторых русских говорах «ярмыш» — искажённое «ярлык» или «ярыжка» (мелкий чиновник, судебный исполнитель). Однако это скорее народная этимология: фонетический переход от «ярыж-» к «ярмыш-» маловероятен, а слово «ярлык» в значении «бирка» не дало бы прозвища с суффиксом -ыш.

Суффикс -ыш в русских прозвищах часто указывает на признак или занятие (глупыш, крепыш, торгаш). В фамилии Ярмышев этот суффикс уже врос в основу, и носители фамилии — потомки человека, которого в XV–XVII веках прозвали Ярмышем. Первые письменные упоминания могли бы относиться к служилым людям или крестьянам южных и восточных окраин Московского государства, но конкретных записей в открытых источниках нет.

Однокоренных фамилий немного: Ярмыш, Ярмышкин, Ярмышевский. Все они редки, что подтверждает локальный характер прозвища. Если ваши предки носили фамилию Ярмышев, скорее всего, они происходят из среды, где тюркские заимствования были в ходу, — возможно, из числа русских, долго живших рядом с татарами, или из обрусевших татарских родов.