Фамилия Ярошынский (в русской передаче — Ярошинский) — типичный пример фамилии, образованной по польско-украинской модели с суффиксом -ский/-цкий. Такие фамилии в XVI–XVIII веках чаще всего указывали либо на владение землёй (дворянские «топонимические» фамилии), либо на происхождение из конкретного места. Исходная основа здесь — топоним Ярошын (Jaroszyn) или Ярошино. Названий с корнем Ярош- в Польше, Беларуси и Западной Украине несколько: деревни Ярошин в Люблинском воеводстве, Ярошино под Гродно, Ярошичи на Волыни. Носитель фамилии — человек, который либо владел таким имением, либо родился в нём и переехал.

Корень фамилии восходит к личному имени Ярош — народной форме канонического имени Иероним (от греч. «священное имя»). В польской и западнорусской традиции Ярош — это и самостоятельное имя, и уменьшительное от Иеронима. Встречается и другая версия: связь с древнерусским словом «ярый» (сильный, горячий, весенний), но для фамилий на -ский такое объяснение менее характерно — они редко образуются напрямую от прилагательных, обычно через географическое название.

Написание через «ы» (Ярошынский) — не ошибка, а указание на белорусскую или украинскую фонетику, где твёрдое «ы» после шипящих передаёт более архаичное произношение. В польском языке та же фамилия писалась бы Jaroszyński, с мягким «ń». В Российской империи фамилию могли записывать по-разному, в зависимости от того, в какой губернии жил носитель: в западных губерниях (Минской, Волынской, Подольской) преобладало «ы», в центральных — «и».

По сословной принадлежности Ярошинские — это, скорее всего, мелкая шляхта или однодворцы. Фамилии на -ский в Речи Посполитой были маркером дворянского статуса, но после разделов Польши многие обедневшие шляхтичи переходили в податные сословия. Если ваши предки носили эту фамилию в XIX веке, ищите их среди крестьян или мещан западных губерний: там фамилия нередко сохранялась даже после утраты привилегий.

Однокоренные фамилии — Ярош, Ярошенко, Ярошевич, Ярошкевич. Все они указывают на одно и то же имя-основу, но разные суффиксы выдают разную социальную среду: -енко — украинский казацкий тип, -евич — белорусский и польский патроним, -ский — шляхетский топоним.