Фамилия Ярзутова — женская форма от Ярзутов, и её разумнее разбирать в мужском варианте. Основа здесь — прозвище или неканоническое имя Ярзут. Слово неочевидное, и чтобы понять его, нужно подключить диалектную лексику и тюркские заимствования.

В русских говорах слово «яр» имеет несколько значений: крутой берег, овраг, а также — в переносном смысле — задор, пыл, ярость. Суффикс «-зут» встречается редко и нехарактерен для исконно славянской модели словообразования. Скорее всего, он указывает на тюркское происхождение основы. В тюркских языках корень «яр» означает «любимый», «дорогой», «возлюбленный» (ср. турецкое yar). Окончание «-зут» могло появиться через адаптацию тюркского имени с компонентом «-зуд» или как результат слияния с местным диалектным суффиксом. Таким образом, Ярзут — это, вероятно, прозвище, данное человеку по характеру (яростный, горячий) или, что более правдоподобно, по ласковому обращению («милый», «любимый»), которое со временем закрепилось как семейное имя.

Географически фамилия привязана к северным и центральным регионам России, особенно к Архангельской области и Поморью. Встречается она и в Карелии. Это сужает круг поисков: предки Ярзутовых — скорее всего, поморы или крестьяне Русского Севера. В поморской среде было много прозвищ, связанных с морем, промыслом и личными качествами, но также сохранялись древние, порой загадочные имена, уходящие корнями в финно-угорские или тюркские языки — следствие многовековых контактов.

Фамилия образована по самой распространённой модели: от прозвища на твёрдый согласный с помощью суффикса притяжательности «-ов», то есть «сын Ярзута». Вариант «Ярзутов» (а не «Ярзутов») указывает на то, что в основе был звук «у» после «з», что подтверждает тюркскую или диалектную природу корня. Встречается также написание с одним «т» — Ярзутов, но это, скорее, опечатка или позднее упрощение.

Никаких известных исторических деятелей с такой фамилией нет, что нормально для фамилии локального бытования. Её главная ценность — в сохранении редкого прозвища, которое сегодня не встретишь в живом языке. Если вы носите фамилию Ярзутова, ваши предки, скорее всего, жили на севере России, и их имя значило либо «любимый», либо «горячий» — в любом случае, это было не случайное, а характерное прозвище.