Фамилия Ясашнова в своей основе хранит отсылку к тюркскому слову «яса» или «ясыр» — так в русских говорах называли пленного, невольника. В словаре Даля зафиксировано слово «ясырь» в значении «пленник, захваченный в ордынских набегах». Однако это не единственная возможная версия. В тюркских языках «ясак» означал дань или подать, а «ясачный» — человек, платящий ясак. Отсюда могло пойти прозвище Ясачный или Ясашный, которое закрепилось за человеком, собирающим дань, либо за тем, кто её платил.

Фамилия образована по модели, характерной для южнорусских и украинских земель: суффикс -ов (в женском роде -ова) присоединяется к прозвищу на -ашн-. Форма Ясашнова (а не, скажем, Ясаков или Ясачнов) указывает на то, что исходное прозвище звучало как Ясашный. Вариант с -шн- вместо -чн- — это результат диалектного произношения, когда «ч» переходит в «ш» (как в словах «ску́шно» вместо «скучно»). Такое чередование особенно часто встречалось в северных и сибирских говорах.

Географически фамилия редкая. Если обратиться к данным переписей и телефонных справочников, наибольшая концентрация носителей фамилии Ясашнов (и женской формы Ясашнова) приходится на Поволжье и Урал — регионы, где исторически контактировали русские и тюркские народы. В этих местах слово «ясашный» было в ходу: ясашными людьми называли крестьян, облагаемых ясаком (натурой или деньгами) в пользу государства. В Сибири, например, ясашные люди — это коренные народы, платившие пушной налог, но и русские переселенцы, попавшие под ясачный сбор, тоже могли получить такое прозвище.

Сословная принадлежность предков Ясашновых, скорее всего, была крестьянской или казачьей. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В метрических книгах XIX века встречаются записи о крестьянах и мещанах с фамилией Ясашнов в Пермской и Вятской губерниях. Так что ваш предок мог быть либо сборщиком ясака (что делало его человеком при власти, но не знатным), либо, что вероятнее, тем, кто этот ясак платил — рядовым тягловым крестьянином или промысловиком.