Фамилия Забавников образована от прозвища Забавник. В основе — нарицательное «забава», то есть потеха, развлечение, игра. Слово «забавник» в русских говорах имело два основных значения. Первое и самое очевидное — человек с чувством юмора, веселый, жизнерадостный, любитель развлечений. Второе, менее известное — медлительный, нерасторопный человек, которого приходилось «забавлять», чтобы он делал дело. Какое из двух значений легло в основу прозвища конкретного предка, теперь не установить, но оба варианта возможны.

Фамилия построена по типичной модели: прозвище на -ник → фамилия на -ов. Суффикс -ник в русском языке часто указывает на носителя признака или деятеля: забавник — тот, кто забавляет или сам любит забавы. Суффикс -ов в фамилии — стандартный патронимический, означающий «сын Забавника» или «из семьи Забавниковых».

Географически фамилия редкая. Встречается преимущественно в центральных и северных регионах России, но массового распространения не получила. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) она не упоминается, что говорит о её локальном бытовании. По сословной принадлежности носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам — в дворянской среде такие «говорящие» прозвища в фамилиях встречаются реже.

Однокоренные фамилии — Забавин, Забавский, Забава. Но Забавников выделяется именно суффиксом -ник, который придаёт прозвищу деятельный оттенок: не просто «забава», а «тот, кто с забавой связан постоянно». Это делает фамилию более конкретной, чем, скажем, Забавин (прямо от имени или прозвища Забава).

Потомок человека по прозвищу Забавник со временем получил фамилию Забавников — и она закрепилась, сохранив память о характере или поведении далёкого предка.