Фамилия Забежанская — женская форма фамилии Забежанский. В русской ономастике такие фамилии с суффиксом -ский/-ская традиционно указывают на географическое происхождение или принадлежность к местности. Основа «забеж-» — это, скорее всего, не случайный корень, а топоним. Скорее всего, предок носителя фамилии происходил из села, деревни или урочища с названием Забежное, Забежа, Забежье или похожим.

Корень «беж-» здесь, безусловно, связан с глаголом «бежать». «Забежать» — значит переместиться куда-то, уйти от чего-то. Отсюда и смысл прозвища или названия: «забежанский» — тот, кто живёт за бегом, за каким-то рубежом, или же «забеглый», то есть пришлый, переселенец. В диалектах слово «забега» могло означать «убежище» или «потаённое место», а «забежной» — «отошедший, отлучившийся». То есть Забежанские — это потомки людей, которые либо жили в отдалённом, «забежном» месте, либо сами когда-то «забежали» сюда, основав новый посёлок.

Модель образования типична для дворянских и шляхетских фамилий Речи Посполитой, а также для русских фамилий, возникших у духовенства и служилых людей. В Польше и на западе России (в нынешней Беларуси и Украине) фамилии на -ский, -цкий получали помещики по названию своего имения. Если же фамилия крестьянская, то она могла возникнуть, когда крестьянам давали фамилию по названию деревни, откуда их переселили.

Интересно, что фамилия Забежанский встречается в основном в западных областях России, а также в Беларуси и на Украине. Это подтверждает версию о польско-литовском или западнорусском происхождении. В отличие от фамилий с суффиксом -ов/-ев, которые обычно указывают на отчество (чей?), эта фамилия — указатель на место (откуда?). Поэтому, скорее всего, первый Забежанский был не просто сыном Забежана, а владельцем или жителем Забежан (или Забежья).

Редкий вариант окончания — «-анская», а не «-инская» или «-овская» — тоже говорит в пользу того, что основа — не личное имя, а именно топоним с суффиксом -ан- (как в названиях Полоцк — Полочанин, или Кострома — Костромич). Сравните с фамилией Забежинская (от Забежино) — здесь суффикс -ин, указывающий на принадлежность одному хозяину. Забежанская же — более «географическая» форма.