Фамилия Забиняков — редкий случай, когда географический «отпечаток» почти наверняка перевешивает любые другие версии происхождения. Её основа — не имя и не профессия, а название реки Забиняки (или Забиняк) в бассейне Днепра, на границе современных Смоленской области России и Витебской области Беларуси. Гидроним, скорее всего, балтского происхождения: корень «заб-» может восходить к литовскому žaboti — «стеснять, ограничивать», что логично для речного русла. Местных жителей, выходцев с этой реки или из одноимённого села, называли «забиняками», а их потомки получили фамилию по патронимической модели с суффиксом -ов.

Словообразовательная цепочка проста: топоним → прозвание «Забиняк» (человек с Забиняков) → фамилия «Забиняков». Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Забиняка». Это типичная «географическая» модель для русских фамилий (сравните: Москвин, Тверитинов, Рязанов), но в данном случае исходная точка настолько локальна, что фамилия осталась штучной. В дореволюционных переписях она встречается почти исключительно в западных уездах Смоленской губернии — в Поречском и Бельском уездах, что подтверждает привязку к конкретному микрорегиону.

Менее убедительная, но возможная версия — прозвище от диалектного глагола «забинякать» (заикаться, мямлить). Однако для фамилии, сконцентрированной на одной небольшой территории, гидронимическое объяснение выглядит намного естественнее: прозвища по дефектам речи обычно рассеяны шире, а не привязаны к одному водному объекту.

В советское время носители фамилии расселились шире, но до сих пор Забиняковы — редкость. Фамилия не попала в массовые списки дворянских или купеческих родов, её носители, судя по архивным данным, были в основном крестьянами и мещанами западных губерний. В написании возможна вариация «Забеняков» — результат аканья, свойственного смоленским говорам, но основной вариант закрепился через «и».