Фамилия Забошта — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корень, нужно отвлечься от современного литературного языка и обратиться к диалектам и историческому словоупотреблению. Самая вероятная версия связывает фамилию с глаголом «забоштить» или «забостить», который в ряде говоров означал «заботиться», «печься», «хлопотать». Соответственно, Забошта — это прозвище заботливого, рачительного человека, который всё держит под контролем. Модель образования проста: основа глагола + суффикс -т(а), характерный для прозвищ, описывающих действие или свойство (ср. Верста, Грызота, Ломота).

Суффикс -шт- вместо более привычного -ст- — это не ошибка, а отражение живого произношения в некоторых северных и сибирских говорах, где звукосочетание «ст» перед гласным могло переходить в «шт». То есть «забошта» — это диалектный вариант слова «забоста» (от «забостить»). Встречаются и однокоренные фамилии Забостин, Забоштин, Забоштан, что подтверждает связь с этим корнем.

Менее правдоподобна, но возможна версия, что в основе лежит украинское или белорусское слово «забошта» — «забытый», «оставленный без внимания». Однако в таком случае фамилия носила бы противоположный смысл — прозвище нерадивого или покинутого человека. Учитывая, что подавляющее большинство русских прозвищ имело положительный или нейтральный оттенок (насмешливые прозвища давали реже), версия с «заботой» выглядит убедительнее.

Географически фамилия Забошта встречается спорадически, без явного гнезда. Отдельные носители зафиксированы в Вологодской, Архангельской областях и на Урале — как раз в тех регионах, где «аканье» и переход «ст» в «шт» в живой речи обычны. Это косвенно подтверждает северное происхождение прозвища.

Сословной привязки у фамилии нет: Забоштой могли назвать и крестьянина, и мещанина, и священника — прозвище было описательным, а не профессиональным. В документах XVIII–XIX веков фамилия почти не встречается, что говорит о её позднем закреплении: скорее всего, она оформилась из уличного прозвища уже в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам.