Фамилия Забашта — одна из тех, чьё происхождение вызывает споры, но главная версия ведёт к географии или к бытовому прозвищу. Начнём с более вероятного объяснения: прозвище Забашта мог получить человек, живший на берегу Азовского моря. В арабских источниках это море называлось «морем Забаш», и такое прозвище давали выходцам с побережья или тем, кто был с ним связан промыслом. Корень в этом случае — топонимический, а не личный.

Менее распространённая, но тоже возможная гипотеза связывает фамилию с болгарским словом «забаша» — «пелена». Если это так, прозвище могло указывать на внешние особенности человека или его манеру одеваться — например, на привычку кутаться или носить длинную накидку. Однако эта версия слабее географической: слово «забаша» в болгарских говорах редкое, а перенос значения с «пелены» на прозвище неочевиден.

С точки зрения словообразования фамилия Забашта — это типичная восточнославянская модель без суффикса, где прозвище перешло в фамилию напрямую. Окончание -а указывает на украинское или южнорусское происхождение: в этих регионах фамилии на -а, -ба, -та особенно часты (сравните: Шелест, Нечитайло, Кривошея). Суффикса -ов или -ин здесь нет, потому что фамилия закрепилась в форме «голого» прозвища — это характерно для казачьих и крестьянских родов.

Надёжных данных о сословной принадлежности носителей фамилии нет, но по модели образования она явно не дворянская: такие фамилии обычно получали простые люди — рыбаки, крестьяне, казаки. В современных справочниках фамилия Забашта встречается в основном на юге России и в восточной Украине, что косвенно подтверждает связь с Азовским регионом.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в Приазовье или в казачьих станицах — именно там топонимическая версия получает наибольшее подтверждение. Болгарский след не стоит отметать полностью, но он требует дополнительных генеалогических разысканий.