Фамилию Забрамский стоит разбирать не с корня, а с суффикса. Типичное окончание -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение: такую фамилию обычно получал человек, владевший землёй или живший в местечке, от которого и образована фамилия. В основе здесь — топоним Забром или Забрам. Чаще всего имеется в виду польское или белорусское село Забромье (Zabromie), которых несколько на территории бывшей Речи Посполитой. Человек, переехавший оттуда, становился «забромским» — то есть выходцем из Забромья.

Есть и вторая, более прозрачная версия. Корень -забр- можно связать с диалектным глаголом «забрать» или существительным «забор». В старых польских говорах «zabór» означало захваченную землю, а «zabramy» — того, кто живёт за бромой, то есть за городскими воротами (брама — ворота). Тогда Забрамский — это человек, поселившийся за крепостными воротами, на окраине. Версия логичная, но менее распространённая, чем топонимическая: в польских и белорусских метриках фамилия Zabramski встречается именно как указание на место.

Географически фамилия привязана к западным губерниям Российской империи — Виленской, Гродненской, Минской. После разделов Польши носители фамилии попали в общероссийский обиход, а в XX веке разъехались по всей стране. В современной России Забрамские встречаются редко, чаще — на Украине и в Беларуси.

Словообразовательно фамилия прозрачна: основа Забрам- плюс типичный формант -ский. Ударение, скорее всего, на втором слоге — Забра́мский, хотя в бытовой речи иногда смещается на первый. Сравните с однокоренными Забродский, Заборовский — все они указывают на географическое прозвище, а не на профессию или личное имя.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были мещанами или мелкой шляхтой из западных областей, а не крестьянами: суффикс -ский в XIX веке чаще закреплялся за теми, кто имел отношение к земле или городу, а не за крепостными.