Фамилия Забровкая — это, скорее всего, не опечатка в окончании, а редкий вариант написания фамилии Забровская. В русской традиции фамилии на -ский/-цкий обычно женского рода (Забровская), а форма на -кая встречается в украинском, белорусском или польском ареалах, где окончание могло редуцироваться или записываться на слух. Чтобы разобраться в происхождении, нужно смотреть на корень «Забр-».

Основа «Забр-» восходит к географическому названию. В Польше, Беларуси и на западе Украины есть несколько населенных пунктов с корнем «Забродье» или «Заброже» — то есть место «за бродом» или «за болотом» (от древнерусского «брод» — переправа, или «бръдо» — гора, возвышенность). Фамилия Забровский (а от нее — Забровская) образовалась по типичной для шляхты и духовенства модели: владелец или житель поместья Заброво получал прозвание «из Заброва», которое закрепилось как фамилия. Суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту, а не на отчество.

Есть и вторая, менее очевидная версия: основа могла возникнуть от прозвища Забра, Забр — человека, который «забирает» или «забирается» (от глагола «забрать»). Но в ономастике такие прозвища редки, и географическое объяснение выглядит правдоподобнее. В словаре польских фамилий К. Рымута фамилия Забровский встречается в Малопольше и Подляшье, что подтверждает топонимическую привязку.

Социальный контекст: носители фамилии Забровская в дореволюционной России чаще всего были мещанами или крестьянами, но с возможным шляхетским прошлым — если семья происходила из западнорусских земель, где фамилии на -ский носили и обедневшие дворяне. В современных базах данных Забровкая встречается единично, в основном у выходцев из Украины или Беларуси, что только усиливает версию о диалектном или канцелярском искажении при записи.

Если ваша фамилия записана именно так — через «-кая», это не ошибка, а живой след регионального произношения. Предки могли быть из мест, где говорят на суржике или смешанных говорах, где твердое «с» перед «к» смягчалось.