Фамилия Заев — один из примеров того, как русская фамилия может быть связана не только с прозвищем, но и с географическим названием. Самая очевидная версия возводит её к мирскому имени Зай, которое, в свою очередь, является сокращённой формой от имени Заяц. В древнерусской традиции давать детям «животные» имена было обычной практикой: считалось, что таким образом ребёнка «принимает» природа, а сам он перенимает качества зверя — в данном случае быстроту, плодовитость или безобидность. Кроме того, слово «зая» веками использовалось как ласковое обращение к любимому человеку, поэтому прозвище могло закрепиться за тем, кого в семье особенно баловали.

Менее распространённая, но лингвистически интересная версия связывает фамилию с гидронимом — рекой Зай в Татарстане. Название реки восходит к татарскому слову «зай» (река). Если предок носителя фамилии жил на берегу этого притока Камы, его могли прозвать «заевским» или просто «Заем» по месту жительства, а затем за потомками закрепилась фамилия Заев. Эта версия объясняет, почему фамилия встречается не только в центральной России, но и в Поволжье, где протекает река Зай.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — Заев, то есть сын или потомок Зая). Если бы в основе лежало полное имя Заяц, фамилия звучала бы как Зайцев, поэтому форма Заев свидетельствует именно о бытовании краткой формы. Таким образом, фамилия Заев могла возникнуть в двух разных контекстах: как ласковое прозвище любимого ребёнка или как указание на место жительства предка у татарской реки. Какая из версий верна для конкретной семьи, можно попытаться выяснить по региону проживания предков и по местным говорам.