Фамилия Загайський — типичный пример фамилии на -ський, которые в основном носили поляки, украинцы и белорусы. Суффикс -ський (польское -ski) указывает на происхождение от географического названия или, реже, от прозвища, обозначающего человека «из такого-то места». Поэтому первое, что приходит на ум: предок носителя фамилии был родом из населённого пункта с корнем «Загай».

Скорее всего, основа «Загай» восходит к слову «гай» — небольшой лиственный лес, роща. Приставка «за-» указывает на положение: «за гаем», то есть место за рощей. В Украине и Польше немало сёл с названиями Загай, Загайцы, Загайки. От названия одного из них и образовали фамилию — по модели «кто из Загая? — Загайський». Это самая прямая и правдоподобная версия.

Менее вероятно, но не исключено, что фамилия произошла от прозвища «Загай» — человека, жившего за рощей, или от древнего личного имени, связанного с лесом. Однако для фамилий на -ський топонимическая версия всегда основная.

В написании «Загайський» с «й» и мягким знаком — это украинская орфография. В польском варианте фамилия выглядела бы как Zagajski (Загайски). Если бы фамилия закрепилась в русской среде, её бы переделали в Загайский (без мягкого знака). Сама по себе фамилия довольно редкая, не входит в число распространённых. Это означает, что у неё узкая география: носители, скорее всего, сосредоточены в западных областях Украины (Волынь, Галичина) или среди потомков эмигрантов.

Таким образом, ваш предок — человек, чья семья происходила из села или хутора, который называли «Загай» (то, что за рощей). Фамилия не дворянская и не крестьянская в прямом смысле: модель на -ський могла быть как у шляхты, так и у простых крестьян, которые брали фамилию по месту жительства при переписях. Социальный статус определяется только по конкретным документам, но сама фамилия не даёт намёка на ремесло или должность — только на ландшафт, окружавший дом предка.