Фамилия Заинчковская — редкий пример, когда написание почти наверняка скрывает опечатку или диалектное искажение. Верная, исторически сложившаяся форма — Заинчко́вский, а вариант через «ая» появляется, когда фамилию по ошибке склоняют как прилагательное женского рода (ср. Заинчковская — это уже форма жены или дочери, а не исходная фамилия). В русской ономастике фамилии на -ский/-цкий традиционно закрепляются за мужчинами, а на -ская/-цкая — за женщинами. Поэтому человек, ищущий «Заинчковкая», скорее всего, имеет в виду родовую мужскую форму Заинчковский, но записал её на слух.

Основа фамилии — топоним Заинчково или Заинчков. Такие названия нередки в западных регионах бывшей Речи Посполитой (современные Беларусь, Украина, восток Польши). Корень «заинч-» может восходить к слову «заинец» — житель местности у реки Иня или Инч, либо к личному имени Инка/Инец с приставкой за- (указание на место за селением). Более прозрачная версия: в основе лежит диалектное «инчий» — иной, другой. Тогда «за инчим» — за другим (селом, лугом), и поселение Заинчково — то, что находится за иным, соседним владением.

Модель образования типична для шляхетских и дворянских фамилий восточноевропейского региона. Суффикс -ский указывал на принадлежность к месту или владению: Заинчковский — «тот, кто из Заинчкова». В Российской империи такие фамилии чаще всего носили представители мелкопоместной шляхты, духовенства или выходцы из казачьей старшины. Крестьянам фамилии на -ский давали реже — обычно при переходе в другое сословие или после реформы 1861 года.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Заинчков, Заиньковский, Заинский) показывает, что географический разброс узок: основная зона бытования — исторические Волынская и Гродненская губернии. В современной России фамилия встречается единично, что подтверждает её западнорусское или польско-литовское происхождение.

Если вы ищете именно Заинчковкую, проверьте документы предков: вероятно, исходная форма — Заинчковский, а окончание -ая появилось из-за путаницы с женским родом в бытовой речи. Это не ошибка, а живое свидетельство того, как фамилия адаптировалась к русской грамматике.