Фамилия Закудовский — одна из тех, где географическая привязка в основе видна почти сразу. Суффикс -ский указывает на дворянский или шляхетский тип образования, но это не значит, что все носители принадлежали к знати: в XIX веке такие фамилии активно перенимали крестьяне и мещане, особенно в западных губерниях Российской империи. Основа фамилии — топоним Закудово или Закуды. Скорее всего, речь о деревне или урочище с таким названием, которых несколько на территории современной Беларуси и западной России. «За кудами» — то есть за лесом, за болотом или за каким-то другим природным рубежом: слово «куда» в древнерусских говорах могло означать «лесная чаща» или «глухая местность». Первый носитель, вероятно, был выходцем из такого места — «тот, кто из Закудова».

Менее вероятна, но возможна версия от прозвища Закуда — человека, который любил уходить в глухие места, в «куды». В этом случае фамилия образована по той же модели: прозвище + -ский, что характерно для польско-литовской ономастической традиции. Встречаются и параллельные формы — Закудов, Закудин, но Закудовский явно тяготеет к западному ареалу, где -ский было массовым фамильным формантом.

Интересно, что фамилия редкая и нечастотная. В дореволюционных справочниках она почти не фигурирует, что говорит о локальном бытовании: несколько родов могли возникнуть независимо в разных деревнях с похожими названиями. В советское время носители рассеялись, но концентрация остаётся в Беларуси и Смоленской области. Если ваши предки — Закудовские, стоит искать корни в метрических книгах Могилёвской или Витебской губернии.

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: основа (топоним или прозвище) + суффикс принадлежности. Никаких спорных корней или затемнённых значений здесь нет. Главное — не путать её с фамилией Закудский, где основа короче, и с Закудовым, где суффикс указывает на иную модель (прямое отчество, а не указание на местность).